高中导数

零、高中导数概述

导数是高中的一大难点，其中包含了过多的知识点，如不等式放缩、零点定理等，涉及的题型也极其多样，如隐零点、同构、极值点偏移、端点效应......

然而高中部分老师只是将导数作为高中数学的一章，并不明白就应试的目的而言，应该将导数作为单独一科，仔细介绍其中的知识点。

一、预备知识

1、导数的定义

2、函数不等式汇总

2.1 泰勒展开式相关的不等式及其衍生式

2.1.1 指数函数类

由 $e^x = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dotsb$ 可得：

$e^x \geq 1+x+\frac{x^2}{2}(x \geq 0) $
$e^x \geq 1+x(x \in \mathbb{R}) $

下证不等式(1):

构造函数 $f(x) = e^x -(1+x+\frac{x^2}{2}) $

求导有： $f'(x) = e^x-x-1 $

再次求导有： $f''(x) = e^x - 1 $

因为 $e^x-1 \geq 0(x \geq 0) $，
所以 $f''(x) \geq 0(x \geq 0) $，
所以 $f'(x) $在 $[0,+\infty] $递增，
所以 $f'(x)\geq 0(x\geq 0) $,
所以 $f(x) $在 $[0,+\infty] $递增

不等式(1)得证

下证不等式(2)：

由不等式(1)的证明可类比得到。

注1：

由证法可知，对于 $x\in \mathbb{R} $， $e^x \geq x + $均成立，其中 $y = x+ $ $y = e^x $在 $(0,1) $处的切线方程，由此可衍生出许多不等式。

例如：由上述不等式，可写出一个“元”不等式： $e^{f(x)} \geq f(x)+1 $。

若令 $f(x)=x-1 $，可得一个常见的放缩不等式： $e^x\geq ex(x\in \mathbb{R}) $
若令 $f(x)=-x $，可得： $e^x\leq\frac{1}{1-x} $
若令 $f(x)=x+\ln x $，可得 $xe^x \geq x+\ln x+1 $(常见同构放缩不等式)

相似的，如果我们把刚得到的不等式进行进一步衍生，又可以诞生出一些有用的式子：

若将 $e^x\geq ex $中的 $x $换成 $\frac{x}{2} $可得： $e^x\geq\frac{e^2}{4}x^2\geq x^2 $（直接将 $e^x $与 $x^2 $产生联系，好用的取点不等式）
若将 $e^x \geq ex $中的 $x $换成 $\frac{x}{3} $可得： $e^x\geq \frac{e^3}{27}x^3\geq \frac12x^3 $（直接将 $e^x $与 $x^3 $产生联系，好用的取点不等式）
甚至，若将 $e^x\geq x+1 $中的 $x $换成 $\ln x $，可得： $\ln x\geq x-1 $，这个式子一会儿会讲。

上述衍生不等式可能出现于任何题目中，遇到它们别害怕，它们其实都是 $e^x \geq x+1 $，所以一定要关注并理解“元”不等式。

注2：

将不等式 $e^x\geq x+1 $弱化，可得 $e^x \gt x $。虽然弱化后的式子精确度下降，但是它极为精简，只有一次项，可以用于解决一些取点问题。

注3：

在 $f(x)= x $的泰勒展开式中截取片段，可得：

$n $为奇数，则： $e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!} (x\in \mathbb{R}) $

$n $为偶数，则：

$x\geq 0 $时， $e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!} (x\in \mathbb{R}) $；

$x\leq 0 $时， $e^x \lt 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!} (x\in \mathbb{R}) $

注4：

用 $-x $替换 $x $可得： $e^x = 1+\frac{-x}{1!}+\frac{(-x)^2}{2!}+\dotsb $

则由泰勒公式有： $e^x-e^{-x} = 2(x+\frac{x^3}{3!}+\dots ) $

由上式可衍生出一个重要不等式： $e^x-e^{-x}\geq 2x(x\geq 0) $

事实上， $\frac{e^x-e^{-x}}{2} $与 $\ln (x+\sqrt{x^2+1}) $互为反函数。

于是，当 $x\geq 0 $时，有不等式链： $\frac{e^x-e^{-x}}{2}\geq x\geq \ln (x+\sqrt{x^2+1}) $

2.1.2 对数函数类

由于 $\ln x $在 $x=0 $处无定义，因此在这里我们转为研究 $f(x)=\ln (x+1) $的性质，再通过函数变换得到 $f(x)=\ln x $的性质。

$\ln (x+1) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\dotsb $

把上式当作“元”式，可得：

$\ln x = (x-1) -\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\dots +(-1)^{n-1}\frac{(x-1)^n}{n}+\dotsb $

由上述不等式可以生成一系列不等式：

$x\geq 0 $时， $x\geq \ln (x+1)\geq x-\frac{x^2}{2}(当且仅当x=0取等) $。可直接构造函数进行证明。
对于 $\ln x\leq x-1 $，用 $\frac{x}{e} $替换 $x $有： $\frac{x}{e}-1\geq \ln {\frac{x}{e}} $，即 $\ln x \leq \frac{x}{e} $（依旧是一个常见的切线放缩不等式，因为它由 $\ln x \leq x-1 $这个切线放缩不等式衍生出来）
对于不等式链： $1-\frac{1}{x}\leq \ln x\leq x-1 $
，用 $x+1 $替代 $x $，则可得：
$$\frac{x}{x+1}\leq \ln (x+1)\leq x (x\geq 0) $$

注1：

对 $ln(x+1)\leq x $的两边取指数有： $e^x\geq x+1 $，又一次体现了“元”的思想。

注2：

$y=x $为 $y=\ln (x+1) $在 $(0,0) $处的切线

注3：

用 $x-1 $替代 $x $，可知： $\ln x\leq x-1 $，（极为常见），可得到一个“元”式： $\ln f(x) \leq f(x)-1 $。令 $f(x)=\frac1x $有： $\ln x \geq 1-\frac1x $，则可知双边不等式： $1-\frac1x\leq \ln x\leq x-1 $（极为常见）

注4：

由 $\ln (x+1) $的泰勒展开式可得：

$n $为奇数时， $\ln (x+1)\leq x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dotsb+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}(x\geq 0) $

$n $为偶数时， $\ln (x+1)\geq x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dotsb+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}(x\geq 0) $

下面为方便读者阅读，将1，2两部分涵盖的不等式整理为下方的不等式“树”：

暂略

上面的不等式“树”涵盖了众多不等式，笔者将它们一一列出，并不是希望读者将它们全部熟记于心，而是希望读者能够在此基础上充分理解“元”的思想，并且可以熟练运用一些重要不等式，从而帮助自己在考场高压的环境下“游龙/游弋”。可以说，市面上大多数导数模拟题不过都是源自一个复杂的衍生不等式。

2.1.3 三角函数类

$\sin x =x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\dotsb+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\dotsb $
$\cos x =1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dotsb+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\dotsb $
$\tan x =x +\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+\dotsb $

由上述式子可以得到一系列不等式：

$x\geq 0 $时， $x-\frac{x^6}{6}\leq \sin x\leq x\leq \tan x $； $1-\frac{x^2}{2}\leq \cos x \leq 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} $

关于三角函数类常见不等式实际上只有那么几个，下面再一一介绍它们。
$\sin x\geq \frac{2}{\pi}x(0\leq x\leq \frac{\pi}{2}) $

上述式子为Jordan不等式，由于 $y=\frac{2}{\pi}x $为 $y = \sin x $的割线，且 $y = \sin x $为上凸函数，因此上式成立。
$x\geq 0 $时， $\frac{\sin x}{x+\sin x}\leq \frac{x}{3} $

证明：

$f(x)=\frac{\sin x}{2 +\cos x}-\frac{x}{3} $

$f'(x) = -\frac{(\cos x-1)^2}{3(2+\cos x)^2} $

因为 $f'(x)\leq 0 $，所以 $f(x) $在 $\mathbb{R} $上单调递减，所以 $f(x)\leq f(0)=0 $

注：类似地，当 $x\geq 0 $时， $\frac{\sin x}{3+\cos x}\leq \frac{x}{4} $
$0\leq x\leq \frac{\pi}{2} $时， $\sin x+\tan x\geq 2x $

证明：

设 $f(x)=\sin x+\tan x-2x $

$f'(x)=\cos x+\frac{1}{\cos^2 x}-2\geq \cos^2x+\frac{1}{\cos^2 x}-2 \geq 0 $

因为 $f'(x)\geq 0 $

所以 $f(x) $在 $[0,\frac{\pi}{2}] $上单调递增

所以 $f(x)\geq f(0)=0 $

即 $\sin x+\tan x\geq 2x(0\leq x \lt \frac{\pi}{2}) $

注：上述论证法中使用了 $\cos^2x+\frac{1}{\cos^2 x}\geq 2 $这一个均值不等式，这是一种常见的放缩手段
$0\leq x\leq \frac{\pi}{2} $时， $2\sin x+\tan x\geq 3x $

证明：

设 $f(x) = 2\sin x+\tan x-3x $

$f'(x)=\frac{(2\cos x+1)(\cos x-1)^2}{\cos^2 x}\geq 0 $

因为 $f'(x)\geq 0 $

所以 $f(x) $在 $[0,\frac{\pi}{2}] $单调递增

所以 $f(x)\geq f(0)=0 $

即 $2\sin x+\tan x\geq 3x(0\leq x\leq \frac{\pi}{2}) $

至此，函数不等式的部分彻底结束，下面是一些例题，供读者练习。

$例1、已知\frac{e^x}{x^3}-x-a\ln x\geq 1对于任意的x\in (1,+\infty)成立，求a的范围 $

解：

$$\begin{align}原式&\iff\frac{e^x}{x^3}-x-1\geq a\ln x \ &\iff e^{x-3\ln x}-x-1\geq a\ln x \end{align} $$

$则由e^x\geq x+1,将其中的x代换为x-3\ln x, $

$则e^{x-3\ln x}-x-1\geq x-3\ln x-x-1+1\geq a\ln x $

$则a\leq -3 $

3、泰勒公式

4、洛必达法则

5、增长速率

二、题目类型

1、参数分离

1.1 全分参

即构造出 $a = g(x)$，讨论定义域内函数的交点个数

例： $已知函数f(x) = -x^2+ax+\ln x(a\in \mathbb{R})，设函数f(x)在[\frac{1}{e},e]上有两个零点，求a的取值范围$

1.2 半分参

分离为两个函数，数形结合解题（通常求切线）

适用范围： 分为 $f(x)\geq g(x)$，一边画图两一般含餐过定点

例： $f(x) = e^{2x}-a(x-1)^2在[0,+\infty)有且仅有一个解，求a的范围$

导数综合